3.70 \(\int \frac{(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=243 \[ -\frac{7 c^5 (3 A-8 B) \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac{a^5 c^5 (A-B) \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a \sin (e+f x)+a)^8}+\frac{2 a^3 c^5 (3 A-8 B) \cos ^9(e+f x)}{15 f (a \sin (e+f x)+a)^6}-\frac{6 a^5 c^5 (3 A-8 B) \cos ^7(e+f x)}{5 f \left (a^2 \sin (e+f x)+a^2\right )^4}-\frac{42 a^5 c^5 (3 A-8 B) \cos ^5(e+f x)}{5 f \left (a^4 \sin (e+f x)+a^4\right )^2}-\frac{21 c^5 (3 A-8 B) \sin (e+f x) \cos (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac{21 c^5 x (3 A-8 B)}{2 a^3} \]

[Out]

(-21*(3*A - 8*B)*c^5*x)/(2*a^3) - (7*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(a^3*f) - (21*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x
]*Sin[e + f*x])/(2*a^3*f) - (a^5*(A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^11)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*(3*A - 8*B
)*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) - (6*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(a^2 + a^2*S
in[e + f*x])^4) - (42*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a^4 + a^4*Sin[e + f*x])^2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.411668, antiderivative size = 243, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 36, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.167, Rules used = {2967, 2859, 2680, 2682, 2635, 8} \[ -\frac{7 c^5 (3 A-8 B) \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac{a^5 c^5 (A-B) \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a \sin (e+f x)+a)^8}+\frac{2 a^3 c^5 (3 A-8 B) \cos ^9(e+f x)}{15 f (a \sin (e+f x)+a)^6}-\frac{6 a^5 c^5 (3 A-8 B) \cos ^7(e+f x)}{5 f \left (a^2 \sin (e+f x)+a^2\right )^4}-\frac{42 a^5 c^5 (3 A-8 B) \cos ^5(e+f x)}{5 f \left (a^4 \sin (e+f x)+a^4\right )^2}-\frac{21 c^5 (3 A-8 B) \sin (e+f x) \cos (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac{21 c^5 x (3 A-8 B)}{2 a^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

(-21*(3*A - 8*B)*c^5*x)/(2*a^3) - (7*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^3)/(a^3*f) - (21*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x
]*Sin[e + f*x])/(2*a^3*f) - (a^5*(A - B)*c^5*Cos[e + f*x]^11)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^8) + (2*a^3*(3*A - 8*B
)*c^5*Cos[e + f*x]^9)/(15*f*(a + a*Sin[e + f*x])^6) - (6*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^7)/(5*f*(a^2 + a^2*S
in[e + f*x])^4) - (42*a^5*(3*A - 8*B)*c^5*Cos[e + f*x]^5)/(5*f*(a^4 + a^4*Sin[e + f*x])^2)

Rule 2967

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[a^m*c^m, Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m)*(A + B
*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && I
ntegerQ[m] &&  !(IntegerQ[n] && ((LtQ[m, 0] && GtQ[n, 0]) || LtQ[0, n, m] || LtQ[m, n, 0]))

Rule 2859

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((b*c - a*d)*(g*Cos[e + f*x])^(p + 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^m)/(a*f*g*(2*m +
p + 1)), x] + Dist[(a*d*m + b*c*(m + p + 1))/(a*b*(2*m + p + 1)), Int[(g*Cos[e + f*x])^p*(a + b*Sin[e + f*x])^
(m + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (LtQ[m, -1] || ILtQ[Simplify[
m + p], 0]) && NeQ[2*m + p + 1, 0]

Rule 2680

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(2*g*(
g*Cos[e + f*x])^(p - 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(2*m + p + 1)), x] + Dist[(g^2*(p - 1))/(b^2*(2*m +
p + 1)), Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g}, x] && Eq
Q[a^2 - b^2, 0] && LeQ[m, -2] && GtQ[p, 1] && NeQ[2*m + p + 1, 0] &&  !ILtQ[m + p + 1, 0] && IntegersQ[2*m, 2*
p]

Rule 2682

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(g*(g*Cos[e
+ f*x])^(p - 1))/(b*f*(p - 1)), x] + Dist[g^2/a, Int[(g*Cos[e + f*x])^(p - 2), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g
}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && GtQ[p, 1] && IntegerQ[2*p]

Rule 2635

Int[((b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b*Cos[c + d*x]*(b*Sin[c + d*x])^(n - 1))/(d*n),
x] + Dist[(b^2*(n - 1))/n, Int[(b*Sin[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1] && Integer
Q[2*n]

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(A+B \sin (e+f x)) (c-c \sin (e+f x))^5}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx &=\left (a^5 c^5\right ) \int \frac{\cos ^{10}(e+f x) (A+B \sin (e+f x))}{(a+a \sin (e+f x))^8} \, dx\\ &=-\frac{a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}-\frac{1}{5} \left (a^4 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac{\cos ^{10}(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^7} \, dx\\ &=-\frac{a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac{2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}+\frac{1}{5} \left (3 a^2 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac{\cos ^8(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^5} \, dx\\ &=-\frac{a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac{2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac{6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac{1}{5} \left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac{\cos ^6(e+f x)}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx\\ &=-\frac{a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac{2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac{6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac{42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac{\left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \frac{\cos ^4(e+f x)}{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{a^2}\\ &=-\frac{7 (3 A-8 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac{a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac{2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac{6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac{42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac{\left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int \cos ^2(e+f x) \, dx}{a^3}\\ &=-\frac{7 (3 A-8 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac{21 (3 A-8 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac{a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac{2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac{6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac{42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac{\left (21 (3 A-8 B) c^5\right ) \int 1 \, dx}{2 a^3}\\ &=-\frac{21 (3 A-8 B) c^5 x}{2 a^3}-\frac{7 (3 A-8 B) c^5 \cos ^3(e+f x)}{a^3 f}-\frac{21 (3 A-8 B) c^5 \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{2 a^3 f}-\frac{a^5 (A-B) c^5 \cos ^{11}(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^8}+\frac{2 a^3 (3 A-8 B) c^5 \cos ^9(e+f x)}{15 f (a+a \sin (e+f x))^6}-\frac{6 a (3 A-8 B) c^5 \cos ^7(e+f x)}{5 f (a+a \sin (e+f x))^4}-\frac{42 (3 A-8 B) c^5 \cos ^5(e+f x)}{5 a f (a+a \sin (e+f x))^2}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 2.62741, size = 388, normalized size = 1.6 \[ \frac{(c-c \sin (e+f x))^5 \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right ) \left (768 (A-B) \sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )-630 (3 A-8 B) (e+f x) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^5-15 (32 A-127 B) \cos (e+f x) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^5+15 (A-8 B) \sin (2 (e+f x)) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^5+128 (54 A-119 B) \sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right ) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^4+64 (21 A-31 B) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^3-128 (21 A-31 B) \sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right ) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^2-384 (A-B) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )-5 B \cos (3 (e+f x)) \left (\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^5\right )}{60 a^3 f (\sin (e+f x)+1)^3 \left (\cos \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )-\sin \left (\frac{1}{2} (e+f x)\right )\right )^{10}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((A + B*Sin[e + f*x])*(c - c*Sin[e + f*x])^5)/(a + a*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*(c - c*Sin[e + f*x])^5*(768*(A - B)*Sin[(e + f*x)/2] - 384*(A - B)*(Cos
[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2]) - 128*(21*A - 31*B)*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^2
+ 64*(21*A - 31*B)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3 + 128*(54*A - 119*B)*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*
x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^4 - 630*(3*A - 8*B)*(e + f*x)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5 - 15*(32*A - 1
27*B)*Cos[e + f*x]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5 - 5*B*Cos[3*(e + f*x)]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e +
f*x)/2])^5 + 15*(A - 8*B)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5*Sin[2*(e + f*x)]))/(60*a^3*f*(Cos[(e + f*x)
/2] - Sin[(e + f*x)/2])^10*(1 + Sin[e + f*x])^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.184, size = 649, normalized size = 2.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x)

[Out]

-1/f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*tan(1/2*f*x+1/2*e)^5*A+8/f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*tan(1/2*
f*x+1/2*e)^5*B-16/f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*tan(1/2*f*x+1/2*e)^4*A+62/f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*
e)^2)^3*tan(1/2*f*x+1/2*e)^4*B-32/f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*tan(1/2*f*x+1/2*e)^2*A+128/f*c^5/a^3/(1
+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*tan(1/2*f*x+1/2*e)^2*B+1/f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*tan(1/2*f*x+1/2*e)*A-8/
f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*tan(1/2*f*x+1/2*e)*B-16/f*c^5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*A+190/3/f*c^
5/a^3/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)^3*B-63/f*c^5/a^3*arctan(tan(1/2*f*x+1/2*e))*A+168/f*c^5/a^3*arctan(tan(1/2*f*x+
1/2*e))*B+128/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*A-128/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*B-32/f*c^5/a^3/(tan(
1/2*f*x+1/2*e)+1)^2*A+96/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2*B-64/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)*A+160/f*c^5/
a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)*B-64/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*A+64/3/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*B
-256/5/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*A+256/5/f*c^5/a^3/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*B

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.80959, size = 4431, normalized size = 18.23 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/15*(B*c^5*((2375*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5347*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 9230*sin(f*x +
e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 12622*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 13340*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) +
1)^5 + 11684*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 8050*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 4370*sin(f*x + e
)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 1725*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9 + 345*sin(f*x + e)^10/(cos(f*x + e) + 1)^1
0 + 544)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 13*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 25*a^3*si
n(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 38*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 46*a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*
x + e) + 1)^5 + 46*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 38*a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 25*a
^3*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 13*a^3*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9 + 5*a^3*sin(f*x + e)^10/(c
os(f*x + e) + 1)^10 + a^3*sin(f*x + e)^11/(cos(f*x + e) + 1)^11) + 345*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))
/a^3) - A*c^5*((1325*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 2673*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 3805*sin(f*x
+ e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 4329*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 3575*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) +
1)^5 + 2275*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 975*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 195*sin(f*x + e)^8
/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 304)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 12*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e
) + 1)^2 + 20*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 26*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 26*a^3*si
n(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 20*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 12*a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*
x + e) + 1)^7 + 5*a^3*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + a^3*sin(f*x + e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9) + 195*arc
tan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) + 5*B*c^5*((1325*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 2673*sin(f*x + e)
^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 3805*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 4329*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4
+ 3575*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 2275*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 975*sin(f*x + e)^7/(co
s(f*x + e) + 1)^7 + 195*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + 304)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1
) + 12*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 20*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 26*a^3*sin(f*x +
e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 26*a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 20*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e)
+ 1)^6 + 12*a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7 + 5*a^3*sin(f*x + e)^8/(cos(f*x + e) + 1)^8 + a^3*sin(f*x
+ e)^9/(cos(f*x + e) + 1)^9) + 195*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) - 30*A*c^5*((105*sin(f*x + e)/
(cos(f*x + e) + 1) + 189*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 200*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 160*s
in(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 75*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 15*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e)
+ 1)^6 + 24)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 11*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 15*a^
3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 11*a^3*sin(f*x + e)^5/(co
s(f*x + e) + 1)^5 + 5*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7) + 15*
arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) + 60*B*c^5*((105*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 189*sin(f*x +
e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 200*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 160*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4
+ 75*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 15*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 24)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x +
e)/(cos(f*x + e) + 1) + 11*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 15*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)
^3 + 15*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 11*a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 5*a^3*sin(f*x +
e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + a^3*sin(f*x + e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) +
1))/a^3) - 20*A*c^5*((95*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 145*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 75*sin(f
*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 22)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f
*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3
*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(
f*x + e) + 1))/a^3) + 20*B*c^5*((95*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 145*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2
+ 75*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 22)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x +
e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)
^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 15*arctan(sin(f*x
+ e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) - 2*A*c^5*(20*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 40*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e)
+ 1)^2 + 30*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 7)/(a^3 + 5*a^3*sin
(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e
) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) - 40*A*c^5*(5*
sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f
*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3
*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 20*B*c^5*(5*sin(f*x + e)/(co
s(f*x + e) + 1) + 10*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 1
0*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/
(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 30*A*c^5*(5*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1)
+ 5*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 5*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)
/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3
+ 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) - 6*B*c^5*(5*sin(f*x +
e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 5*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 1)/(a^
3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3
/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5))/
f

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 1.89307, size = 1080, normalized size = 4.44 \begin{align*} -\frac{10 \, B c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{6} + 15 \,{\left (A - 6 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{5} + 10 \,{\left (21 \, A - 74 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{4} - 1260 \,{\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x - 192 \,{\left (A - B\right )} c^{5} +{\left (315 \,{\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x +{\left (2373 \, A - 6128 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{3} +{\left (945 \,{\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x - 2 \,{\left (753 \, A - 2248 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 6 \,{\left (105 \,{\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x + 2 \,{\left (323 \, A - 848 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right ) +{\left (10 \, B c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{5} - 5 \,{\left (3 \, A - 20 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{4} + 5 \,{\left (39 \, A - 128 \, B\right )} c^{5} \cos \left (f x + e\right )^{3} - 1260 \,{\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x + 192 \,{\left (A - B\right )} c^{5} +{\left (315 \,{\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x - 2 \,{\left (1089 \, A - 2744 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 6 \,{\left (105 \,{\left (3 \, A - 8 \, B\right )} c^{5} f x + 2 \,{\left (307 \, A - 832 \, B\right )} c^{5}\right )} \cos \left (f x + e\right )\right )} \sin \left (f x + e\right )}{30 \,{\left (a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{3} + 3 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right ) - 4 \, a^{3} f +{\left (a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right ) - 4 \, a^{3} f\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/30*(10*B*c^5*cos(f*x + e)^6 + 15*(A - 6*B)*c^5*cos(f*x + e)^5 + 10*(21*A - 74*B)*c^5*cos(f*x + e)^4 - 1260*
(3*A - 8*B)*c^5*f*x - 192*(A - B)*c^5 + (315*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + (2373*A - 6128*B)*c^5)*cos(f*x + e)^3 + (94
5*(3*A - 8*B)*c^5*f*x - 2*(753*A - 2248*B)*c^5)*cos(f*x + e)^2 - 6*(105*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + 2*(323*A - 848*B
)*c^5)*cos(f*x + e) + (10*B*c^5*cos(f*x + e)^5 - 5*(3*A - 20*B)*c^5*cos(f*x + e)^4 + 5*(39*A - 128*B)*c^5*cos(
f*x + e)^3 - 1260*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + 192*(A - B)*c^5 + (315*(3*A - 8*B)*c^5*f*x - 2*(1089*A - 2744*B)*c^5)*
cos(f*x + e)^2 - 6*(105*(3*A - 8*B)*c^5*f*x + 2*(307*A - 832*B)*c^5)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(a^3*f*cos(f*
x + e)^3 + 3*a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f + (a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x +
e) - 4*a^3*f)*sin(f*x + e))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))**5/(a+a*sin(f*x+e))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [A]  time = 1.28761, size = 508, normalized size = 2.09 \begin{align*} -\frac{\frac{315 \,{\left (3 \, A c^{5} - 8 \, B c^{5}\right )}{\left (f x + e\right )}}{a^{3}} + \frac{10 \,{\left (3 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{5} - 24 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{5} + 48 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{4} - 186 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{4} + 96 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{2} - 384 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{2} - 3 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right ) + 24 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right ) + 48 \, A c^{5} - 190 \, B c^{5}\right )}}{{\left (\tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{2} + 1\right )}^{3} a^{3}} + \frac{64 \,{\left (30 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{4} - 75 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{4} + 135 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{3} - 345 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{3} + 255 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{2} - 595 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right )^{2} + 165 \, A c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right ) - 395 \, B c^{5} \tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right ) + 39 \, A c^{5} - 94 \, B c^{5}\right )}}{a^{3}{\left (\tan \left (\frac{1}{2} \, f x + \frac{1}{2} \, e\right ) + 1\right )}^{5}}}{30 \, f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c-c*sin(f*x+e))^5/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/30*(315*(3*A*c^5 - 8*B*c^5)*(f*x + e)/a^3 + 10*(3*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^5 - 24*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2
*e)^5 + 48*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 186*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 + 96*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 -
384*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 3*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 24*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 48*A*c^5 -
190*B*c^5)/((tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1)^3*a^3) + 64*(30*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 75*B*c^5*tan(1/2*f*x +
1/2*e)^4 + 135*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 345*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 255*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*
e)^2 - 595*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 165*A*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 395*B*c^5*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 39
*A*c^5 - 94*B*c^5)/(a^3*(tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)^5))/f